Série 1 : Aléas Numériques

Exercice 1 :

Une urne A contient trois boules : une rouge, une bleue et une noire. Une urne B contient trois boules : une rouge et deux noires. Une urne C contient trois boules : deux bleues et une noire.

On tire une boule, au hasard, de chaque urne.

On suppose que, dans chaque urne, les tirages sont équiprobables.

1.   a) Quelle est la probabilité p₀ de n'obtenir aucune boule noire ?

b) Quelle est la probabilité p₁ d'obtenir exactement une boule noire ?

c) Quelle est la probabilité p₂ d'obtenir exactement deux boules noires ?

d) Quelle est la probabilité p₃ d'obtenir trois boules noires ?

e) Si on tire exactement une boule noire, on perd un point. Si on tire zéro ou deux boules noires, on gagne zéro point. Si on tire trois boules noires, on gagne trois points.

2. a) Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X qui à tout tirage effectué on associe le gain réalisé ?

b) Calculer l'espérance mathématique de X. La règle du jeu est-elle favorable au joueur ?

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Exercice 2  :

Un pion se déplace par sauts successifs sur la droite munie du repère (O;). Son point de départ est le point O.

Deux types de sauts sont possibles :

D : deux unités vers la droite.

G : une unité vers la gauche.

Les sauts successifs sont supposés indépendants les uns des autres, et chaque type de saut a la même probabilité d'être effectué. On suppose que le pion va effectuer trois sauts successifs.
1. Donner la liste des différents parcours possibles. On pourra éventuellement dessiner "l'arbre des parcours", et désigner chaque parcours à l'aide d'un triplet, par exemple : (D, D, G) signifie que le pion s'est déplacé d'abord deux fois vers la droite, puis une fois vers la gauche.

2. Pour chaque parcours trouvé, préciser l'abscisse du point occupé par le pion après les trois sauts.

3. Soit X la variable aléatoire qui, à chaque parcours, associe l'abscisse du point où aboutit le pion. Donner la loi de probabilité de X, et son espérance mathématique.

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Exercice 3  :

Dans tout l'Exercice, A et B étant deux événements, P(A) désigne la probabilité de A ;
P(B/A) la probabilité de B sachant que A est réalisé.

1. Le nombre de clients se présentant en cinq minutes dans une station-service est
une variable aléatoire X dont on donne la loi de probabilité : pi = P(X = i)

a. Définir et représenter graphiquement la fonction de répartition de X.

b. Calculer l'espérance mathématique de X.

2. Dans cette station-service, la probabilité qu'un client achète de l'essence est 0,7 ;
celle qu'il achète du gazole est 0,3. Son choix est indépendant de celui des autres clients.

On considère les événements suivants :

C₁ : " en cinq minutes, un seul client se présente " ;

C₂ : " en cinq minutes, deux clients se présentent " ;

E : " en cinq minutes, un seul client achète de l'essence " ;

a. Calculer P(C₁ Ç E).

b. Montrer que P(E/C₂) = 0, 42 et calculer P(C₂ Ç E).

c. En déduire la probabilité qu'en cinq minutes un seul client achète de l'essence.

3. Soit Y la variable aléatoire égale au nombre de clients achetant de l'essence en cinq minutes; déterminer la loi de probabilité de Y.  

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Exercice 4  :

1. Une urne contient quatre jetons numérotés de 1 à 4.

On tire au hasard un jeton de l'urne, on lit le numéro a porté par le jeton puis on remet
le jeton tiré dans l'urne. On tire ensuite un deuxième jeton de l'urne et on note b le numéro du jeton tiré.

Soit (O, i, j, k) un repère orthonormal de l'espace.

On considère les vecteurs U et V de coordonnées respectives (a, -5, 1 – a) et (1 + b, 1, b).
Montrer que la probabilité que ces vecteurs soient orthogonaux est égale à 1/4.

2. Deux personnes A et B jouent au jeu suivant, constitué d'un certain nombre  de parties identiques décrites ci-après : au Cours d'une partie, chaque joueur effectue le tirage de deux jetons décrit dans la première question. Si A obtient deux vecteurs orthogonaux et B des vecteurs non orthogonaux, A est déclaré vainqueur, le jeu s'arrête. Si A obtient deux vecteurs non orthogonaux et B des vecteurs orthogonaux, B est déclaré vainqueur, le jeu s'arrête.

Dans les autres cas, les joueurs entreprennent une nouvelle partie ; le jeu continue.

Pour tout entier n, on désigne par :

A_n l'événement : « A gagne la n-ième partie »

B_n l'événement : « B gagne la n-ième partie »

C_n l'événement : « le jeu continue après la n-ième partie »

1. Calculer les probabilités p(A₁), p(B₁) et p(C₁).

2. Exprimer p(C_{n + 1}) en fonction de p(C_n) et montrer que p(C_n) = (5/8)ⁿ.

Exprimer p(A_{n + 1}) en fonction de p(C_n) et en déduire que p(A_n) = 3(5/8)^{n – 1} / 8.

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Exercice 5  :

Une usine fabrique, en grande quantité, des rondelles d'acier pour la construction, leurs diamètres sont exprimés en millimètre.

On note E l'évènement : " une rondelle prélevée dans un stock important a un diamètre défectueux ", on suppose que P(E) = 0,02.

On prélève au hasard quatre rondelles dans le stock pour la vérification de leurs diamètres. Le stock est assez important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de quatre rondelles. On considère la variable aléatoire Y₁, qui à tout prélèvement de quatre rondelles on associe le nombre de rondelles ayant un diamètre défectueux.

1. Justifier que la variable aléatoire Y₁ suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres.

2. Calculer la probabilité que dans un tel prélèvement aucune rondelle n'ait un diamètre défectueux. Arrondir à 10^-3.

3. Calculer la probabilité que dans un tel prélèvement au plus une rondelle ait un diamètre défectueux. Arrondir à 10^-3.

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