Série 1 :Probabilités

Exercice 1 :

On  considère  une  urne  contenant  trois  boules  jaunes,  deux  boules  bleues,  une  boule  rouge  

et  quatre  boules vertes. Ces boules sont indiscernables au toucher.

On tire, au hasard, une boule de l'urne.

1.   Calculer la probabilité des événements suivants :

2.   En fonction de la couleur tirée, on attribue une somme d'argent selon la convention

suivante : si la boule tirée est :

·       rouge, on gagne 10 D

·       verte, on gagne 2 D

·       jaune ou bleue, on gagne 3 D

Soit X la variable aléatoire qui associe, à chaque tirage le gain réalisé.

a.   Déduire de la question 1) : P(X = 2), P(X =3) et P(X = 10).

b.   Calculer l'espérance mathématique de X, sa variance puis son écart–type.

(On arrondira l'écart-type à 10–2)  

3.   Maintenant, on gagne toujours 10 D si la boule tirée est rouge, 2 D si elle

est verte mais on gagne 3 D si elle est jaune et m D si elle est bleue ; m désignant un réel positif.

Calculer m pour que le gain moyen espéré soit de 4,5 D

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Exercice 2  :

Une urne U1 contient trois boules noires et sept boules blanches.

Une urne U2 contient cinq boules noires et cinq boules blanches.

On choisit une urne au hasard (équiprobable) et on tire successivement deux boules,avec remise,dans l’urne choisie.

On note :

B1 l'événement "obtenir une boule blanche au premier tirage"

B2 l'événement "obtenir une boule blanche au second tirage"

Les événements B1 et B2 sont-ils indépendants ?

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Exercice 3  :

Le nombre d'applications d'un ensemble à p éléments dans un ensemble à n éléments est n ^p.

1. Combien de mots de passe de 8 symboles peut-on créer avec 66 caractères ?
2. Si, dans un pays, les voitures ont des plaques avec deux lettres (leur alphabet a 26 caractères)
3. et ensuite trois chiffres, combien de plaques possibles y a-t-il ?

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Exercice 4  :

Le nombre de permutations de n objets est n! = n·(n-1)·...·2·1. Un professeur dispose de 32 livres

sur un rayon de sa bibliothèque. 23 d'entre eux sont des livres de mathématiques et 9 de physique.

 Le professeur aimerait ranger ses livres de sorte que tous les livres traitant du même sujet restent groupés.

 Combien y a-t-il de dispositions possibles ?

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Exercice 5  :

Quelle est la probabilité de tirer au moins un 6 lorsqu'on jette un dé quatre fois ?

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Exercice 6  :

On répète n fois la lancèe de deux dés. Calculer la probabilité pour que le six apparaisse

au moins une fois. Quelle valeur donner à n pour que cette probabilité atteigne ½ ?

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Exercice 7  :

Combien de personnes faut-il pour que la probabilité qu'au moins deux d'entre elles

aient leurs anniversaires le même mois soit au moins ½ ? On admet que tous les mois sont équiprobables.

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Exercice 8  :

Une urne A contient trois boules : une rouge, une bleue et une noire. Une urne B contient

trois boules : une rouge et deux noires. Une urne C contient trois boules : deux bleues et une noire.
On tire une boule, au hasard, de chaque urne.
On suppose que, dans chaque urne, les tirages sont équiprobables.
1. a) Quelle est la probabilité p₀ de n'obtenir aucune boule noire ?
   b) Quelle est la probabilité p₁ d'obtenir exactement une boule noire ?
   c) Quelle est la probabilité p₂ d'obtenir exactement deux boules noires ?
   d) Quelle est la probabilité p₃ d'obtenir trois boules noires ?                            
   2. Si on tire exactement une boule noire, on perd un point. Si on tire zéro ou deux boules noires, on gagne zéro point. Si on tire trois boules noires, on gagne trois points.
a) Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X qui à tout tirage associe le gain réalisé
   b) Calculer l'espérance mathématique de X. La règle du jeu est-elle favorable au joueur ? 

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Exercice 9  :

Un pion se déplace par sauts successifs sur la droite munie du repère (O; ). Son point de départ est le point O.
Deux types de sauts sont possibles :
    D : deux unités vers la droite.
    G : une unité vers la gauche.
Les sauts successifs sont supposés indépendants les uns des autres, et chaque type de saut a la même probabilité d'être effectué. On suppose que le pion va effectuer trois sauts successifs.
1. Donner la liste des différents parcours possibles. On pourra éventuellement dessiner " l'arbre

des parcours", et désigner chaque parcours à l'aide d'un triplet, par exemple : (D, D, G) signifie

que le pion s'est déplacé d'abord deux fois vers la droite, puis une fois vers la gauche.
2. Pour chaque parcours trouvé, préciser l'abscisse du point occupé par le pion après les trois sauts.
3. Soit X la variable aléatoire qui, à chaque parcours, associe l'abscisse du point où aboutit le pion.

Donner la loi de probabilité de X, et son espérance mathématique.

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Exercice 10  :

Toutes les probabilités seront données sous forme de fractions irréductibles.
Une urne contient huit boules blanches et deux boules rouges.
Un joueur extrait simultanément trois boules de l'urne. On suppose que tous les tirages sont équiprobables.
1. A l'issue d'un tirage de trois boules :
* si aucune boule n'est rouge, le joueur perd 10 francs ;
* si une seule boule est rouge, le joueur gagne 5 francs ;
* si deux boules sont rouges, le joueur gagne 20 francs.
X est la variable qui associe le gain algébrique du joueur à l'issue d'un tirage.
Donner la loi de probabilité de X.
Calculer l'espérance mathématique E(X).
2. Le joueur joue deux fois de suite selon les mêmes règles en remettant dans l'urne, après chaque tirage, les trois boules extraites.
Y est la variable aléatoire qui associe le gain algébrique du joueur à l'issue des deux tirages.
Donner les valeurs possibles pour Y. Déterminer la probabilité que le joueur gagne exactement

10 francs à l'issue des deux parties. (On pourra s'aider d'un arbre).

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Exercice 11  :

Le jeune Eric, trois ans, s'amuse à taper sur les touches du minitel.
1. Il frappe au hasard sur une touche du clavier, chaque touche ayant la même probabilité d'être frappée.

Ce clavier comporte 57 touches dont 26 représentent les 26 lettres de l'alphabet français.
   a) Quelle est la probabilité pour qu'il frappe une lettre ?
   b) Quelle est la probabilité pour qu'il frappe une lettre de son prénom ?
2. Eric frappe successivement 4 touches, distinctes ou non.
Quelle est la probabilité de chacuns des événements suivants :
   a) Eric frappe son prénom.
   b) Eric frappe les 4 lettres de son prénom.
   c) Eric frappe 4 touches différentes.
   d) Eric frappe son prénom sachant qu'il a frappé 4 touches différentes.
On donnera les résultats approchés sous la forme a×10^-n où n est un entier naturel et a un nombre entier tel que 0 < a < 10.

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