Série 1 : Etude de la liaison entre deux caractères

Exercice 1 :

  Commun à tous les candidats  
Les résultats numériques seront obtenus à l'aide de la calculatrice ; aucun détail des calculs statistiques n'est demandé.

Le tableau suivant donne la dépense, en millions d'euros, des ménages en produits informatiques (matériels, logiciels, réparations) de 1990 à 1998.

1. Représenter le nuage de points associé à la série statistique (x_i, y_i) et le point moyen dans un repère orthogonal tel que 2 cm représente une année en abscisse et 1 cm représente 100 millions d'euros en ordonnée (ainsi 398 sera représenté par 3,98 cm).

2.

a. Donner la valeur arrondie à 10^-3 du coefficient de corrélation linéaire de la série(x_i, y_i).
     Un ajustement affine paraît-il justifié ?

  b. Ecrire une équation de la droite d'ajustement affine D de y en x par la méthode des moindres carrés (les coefficients seront arrondis à 10^-3). Représenter D dans le repère précédent.

  c. En utilisant cet ajustement, donner une estimation de la dépense des ménages (arrondie à un million d'euros) en produits informatiques en 2000.

3. L'allure du nuage permet d'envisager un ajustement exponentiel. On pose z_i = ln y_i

  a. Recopier et compléter le tableau suivant où z_i est arrondi à 10^-3 :

  b. Donner la valeur arrondie à 10^-3 du coefficient de corrélation linéaire de la série(x_i, z_i).
      Ecrire une équation de la droite d'ajustement affine de z en x par la méthode des moindres carrés.
      (les coefficients seront arrondis à 10^-3)

  c. En utilisant cet ajustement, donner une estimation de la dépense des ménages (arrondie à un million d'euros) en produits informatiques en 2000.

4. En 2000 les ménages ont dépensé 68,9 milliards d'euros pour la culture, les loisirs et le sport et 3,1% de ces dépenses concernent les produits informatiques.
   Avec lequel des deux ajustements l'estimation faite est-elle la meilleure ?

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Exercice 2  :

Une école de commerce a effectué une enquête, en janvier 2000, auprès de ses jeunes diplômés des trois dernières promotions afin de connaître leurs insertions professionnelles.

A la première question, trois réponses seulement sont proposées :
       A " La personne a une activité professionnelle "
       B " La personne poursuit ses études "
       C " La personne recherche un emploi ou effectue son service national ".

On a constaté que 60% des réponses ont été envoyées par des filles.
Dans l'ensemble des réponses reçues, on a relevé les résultats suivants :

• 65% des filles et 55% des garçons ont une activité professionnelle ;
• 20% des filles et 15% des garçons poursuivent leurs études.

1. On prend au hasard la réponse d'un jeune diplômé.
      a) Montrer que la probabilité qu'il poursuive ses études est égale à 0,18.
      b) Calculer la probabilité qu'il exerce une activité professionnelle.
2. On prend au hasard la réponse d'une personne qui poursuit ses études ; quelle est la probabilité que ça soit la réponse d'une fille (on donnera le résultat sous forme fractionnaire)?
3. On choisit maintenant au hasard et de façon indépendante trois réponses (on suppose que ce choix peut être assimilé à un tirage successif avec remise).
   A l'aide d'un arbre pondéré, déterminer la probabilité que l'une au moins des réponses soit celle d'un jeune diplômé poursuivant ses études.
4. Dans l'ensemble des réponses des jeunes diplômés exerçant une activité professionnelle,
   la répartition des salaires bruts annuels en milliers d'euros est la suivante :

Quel est le salaire brut annuel moyen ?

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Exercice 3  :

 On a procédé à l’ajustement affine d’un nuage de points (X,Y). Les équations obtenues sont les suivantes :

Droite d’ajustement de y en x, D : y = x + 30

Droite d’ajustement de x en y, D’ : x = 1/4 y + 60

1. Calculer le coefficient de corrélation linéaire.

2. Calculer les moyennes arithmétiques de x et de y.

3. Calculer la covariance entre x et y et la variance de x, sachant que la variance de y est égale à 40.

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