Série 1 : Fonction Logarithme Népérien

Exercice 1 :

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Exercice 2  :

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Exercice 3  :

       Soit f    la fonction de IR vers R définie par   .
On appelle (C) la courbe représentative de f  dans le plan muni d'un repère orthonormé .
a: Justifiez que f  est bien définie sur IR  et étudiez la parité de f .
b: Étudiez les variations de f  sur [0 ; +oo[ , puis déterminez la limite de f  en +oo.
c: Montrez que (C) n'admet aucune asymptote droite.

d: Résolvez l'équation " f (x) = x "
Pour x réel, on pose g(x) = a  , où a est le réel tel que f(a) = x .
e: Justifiez que l'application g  est bien définie pour tout x réel.
f: Déterminez  g( 0 ) et   où e  désigne la base du logarithme népérien (ln e = 1).
g: Représentez les courbes de f  et de g  sur une même figure .

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Exercice 4  :

Pour x >  0 , on définit la fonction f  par  :  Si x > 0 alors f(x) = x²ln(x),  et  f (0) = 0
a: Justifiez que f  est continue en 0 .
b: Étudiez la dérivabilité de f  en 0. 
c: Étudiez les variations de f  sur [0 ; +oo[, puis tracez l'allure de la courbe de f  dans un repère orthonormé sur l'intervalle [0;2].

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Exercice 5  :

Pour x réel, on pose : f (x) = ln(e^2x + e^x  + 1) . (C) est la courbe de f  dans le plan muni d'un repère orthonormé.
a: Justifiez le fait que f  est croissante sur IR . 
b: Montrez que la droite des abscisses est asymptote à (C) en -oo.
c: En remarquant que pour tout x réel ,  2x = ln ( e^2x ) , montrez que (C) admet une asymptote droite  (D) en +oo.
    Étudiez la position de (C) par rapport à (D).
 

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Exercice 6  :

On pose f (x) = ln(cos(x) + 1) , pour x dans l'intervalle ]- ; [.
a: Étudiez la fonction  f . Parité , Variations , Limites.
b: Résolvez dans ]- ; [ l'équation  " f (x) = 0".

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