Série 1 :Séries statistiques doubles

Exercice 1 :

Le tableau suivant, publié en août 1999 dans une revue économique, donne la part du temps partiel au sein de la population active (les valeurs pour 2000 et 2004 sont le résultat d'une estimation)

On étudie la série statique (x_i , y_i) pour 1980 x_i 1997.

Les calculs seront effectués à la calculatrice                    

1: Représenter dans un repère orthogonal le nuage des points de coordonnées (x_i , y_i ) pour

    1980 i 1997. On prendra comme unité 1cm pour une part de 2 % en ordonnée, 3cm pour 5 ans en abscisse en prenant pour origine le point (1980 ; 0).

2: Déterminer les coordonnées de G, point moyen de la série (x_i , y_i).
   Placer le sur le graphique.

3: a: Donner la valeur arrondie à 10^-3 près du coefficient de corrélation linéaire de la série

(Xi_i , y_i).
    Un ajustement affine est-il justifié?

     b: Déterminer une équation de la droite d'ajustement affine de y en x par la méthode des moindres carrés.  (a et b arrondis à 10^-3 près).Tracer cette droite sur le graphique.

    c: Peut-on considérer que les estimations pour 2000 et 2004 faites par la revue ont été réalisées en utilisant l'équation obtenue à la question 3:b ?

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Exercice 2  :

Tous les résultats pourront être obtenus à l'aide de la calculatrice sans justification. Ils seront arrondis à deux décimales.
Chaque trimestre l'INSEE publie la moyenne annuelle des quatre derniers indices trimestriels du coût de la construction des immeubles à usage d'habitation (base 100 au 4^e trimestre 1953) .
Le tableau suivant donne ces moyennes pour les premiers trimestres des années 1995 à 1999.

1. Déterminez le coefficient linéaire de cette série statistique.
   Un ajustement affine est-il envisageable?
2. Donnez une équation de la droite d'ajustement affine de y en x par la méthode des moindres carrés.
3. En supposant que l'évolution se poursuive de la même façon, estimer la moyenne  des indices prévisibles au 1^er trimestre 2000.

Monsieur Dupont loue à Monsieur Lejeune, un studio à 3 000 francs par mois, à compter du 1^er août 1999.
Le contrat prévoit une révision annuelle des loyers au 1^er août : les loyers sont proportionnels aux moyennes des indices du coût de la construction du  premier trimestre de l’année.
(la moyenne des indices correspondante au loyer initial est 1 065)
Le propriétaire envisage de fixer le loyer à 3 060 francs à compter du 1^er août 2000.

4.      Cette augmentation serait-elle conforme au contrat si on tient compte de la moyenne des indices obtenue à la question 3?

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Exercice 3  :

Une série simple X = (xi ; ni ) est donnée par le tableau suivant:

a)      Calculez l'effectif total de cette série. Formez le tableau des effectifs cumulés croissants  puis des effectifs cumulés décroissants. Tracez les courbes des effectifs cumulés croissants et décroissants.

Donnez alors une estimation de la médiane de X.
b) Calculez la moyenne de X puis la moyenne de X². Donnez alors la variance de X et son écart-type.
c) On pose alors Y = 2X - 1. Quelle est la moyenne de Y? l'écart type de Y?

    d) Pour a et b réels, on pose Z = aX + b. Quelles sont les valeurs possibles de a et b sachant

    que la moyenne de Z est 0 et que son écart-type est 1?

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Exercice 4 :
Deux classes ont obtenu les notes suivantes lors d'un contrôle commun:

Réparation des notes de la classe 1

On appelle X la série des notes de la classe 1 et Y celle des notes de la classe 2.
1) Représentez graphiquement ces deux séries puis calculez, pour chacune d'elles, la moyenne et l'écart type.
2) Quelle est la série ayant la plus grande dispersion.
3) Les professeurs réunissent l'ensemble des toutes les notes obtenues par les deux classes.
Quelle est la moyenne de toutes les notes? Quel est l'écart type de l'ensemble de toutes les notes?
4) Afin d'harmoniser leurs notations, les professeurs décident que l'ensemble de toutes les notes

doit avoir pour moyenne 10 et pour écart-type 3.
Le professeur de la classe 1 pose alors A = aX + b avec a > 0.
i) Quelles valeurs doit choisir ce professeur pour que la série A aura pour moyenne 10 et pour écart-type 3?

Le professeur de la classe 2 pose B = cY + d avec c >0.
ii) Quelles valeurs doit choisir ce professeur pour que la série B aura pour moyenne 10 et pour écart-type 3?

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Exercice 5 :

On définit la série double suivante (X ; Y).

1)      Représentez graphiquement cette série double (X ; Y) et déterminez les coordonnées de son Point moyen G. Placez ce point sur la figure.
On appelle M_i le point de coordonnées (X_i ; Y_i ). On partage alors le nuage des points obtenus en deux "sous nuages" N₁ et N₂ , N₁ contenant les points M_i pour i dans { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } et N₂ Contenant les points M_i pour i dans {6 , 7 , 8 , 9 , 10 }.
2) Déterminez les coordonnées du point moyen G₁ de N₁ et du point moyen G₂ de N₂. Tracez la droite (G₁ G₂) et donnez une équation de cette droite sous la forme "y = ax+b". Peut-on considérer que la série (X ; Y) suit un modèle affine?
3) Calculez le coefficient de corrélation linéaire de (X ; Y). Vérifiez que l'équation de la droite de régression de Y par rapport à X par la méthode des moindres carrés est :

D_Y/X: y = 9x - 12

Donnez aussi une équation de la droite de régression de X par rapport à Y, D_X/Y.
Tracez ces deux droites sur la figure.

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